問題14（二次関数と円）※開成高入試プレ（中3）より

2023.05.25

オリジナル問題

下の図のように，原点をOとする座標平面上の放物線 y=x²上にx座標が負である点Pをとり，Pを中心としてx軸と点Tで接する円Pをかく。円Pとy 軸との交点のうち，y 座標が大きいものから順にQ，Rとおき，直線PQと円Pとの交点のうち，x座標が小さい方をSとおく。また，直線PQとx軸との交点をA，放物線との交点のうちPでない方をBとおくと，AP:PB=4:5となった。
このとき，次の問いに答えよ。

点Bからx軸に垂線BB’を下ろす。PT:BB’，TO:OB’をそれぞれ求めよ。
AP:PT，直線PQの傾きをそれぞれ求めよ。
点P，点Bの座標をそれぞれ求めよ。
点Rの座標を求めよ。
△STQ:△PRB を求めよ。

2016年度実施「開成高入試プレ（中3）」より

解答・解説はこちら

作問者からのメッセージ

二次関数と円の組み合わせなので一見すると複雑そうに見えますが，開成高を目指す中3生ならば難なく解いてほしい問題です。小問の意図を理解して，そこで得たことを利用しながら解き進めましょう。また、基本的な解法がいくつも組み合わされているため，それらがしっかり身に付いているかどうかも問われます。ぜひ，チャレンジしてみてください。