問題6（空間図形）※筑駒高入試プレ（中3）より

2023.05.25

オリジナル問題

図のように，1辺の長さが√6㎝の正八面体ABCDEFがあります。この正八面体の内部には，ある量の水が入っています。次の問いに答えなさい。ただし，（1），（2）における水の量は異なるものとします。

（1）
① 平面αとAFが垂直になるように固定したら，頂点Aから水面までの距離が √3 2㎝になりました。入っている水の量を求めなさい。
② ①の状態から，正八面体を辺BCがちょうど水面と一致するまで傾けました。このとき，水面と辺ADとの交点をPとして，APの長さを求めなさい。

（2）△CDFを下底面として平面αの上に置いたところ，上底面△ABEと水面との距離が 1 2㎝になりました。入っている水の量を求めなさい。

解答・解説はこちら

作問者からのメッセージ

（1）は「水」という題材ではありますが，相似比から体積比を求める（①），四角錐の切断（②）と，テーマとしては基本的なものですので，筑駒高合格を目指す受験生ならば難なく解いてほしい問題です。（2）は，その状況の「図」を描くことができるか（題意を満たす図形を正確に把握できるか）どうかがポイントです。正四面体の中に正八面体を埋め込むと把握しやすくなりますが，そのような立体の埋め込みの関係を利用できるかどうか，そして，そこからの多少煩雑な計算を解き切る計算力も求められます。