問題17（二次関数）※サピックスオープン（中3）より

2023.06.01

オリジナル問題

下の〈図1〉のように，放物線y＝ax² （a＞0）上に2点A，Bがあり，そのx座標はそれぞれ2，3である。原点をO，直線ABとy軸との交点をCとして，次の各問いに答えよ。

（1）点Cのy座標をaを用いて表せ。
（2） △OABの面積をaを用いて表せ。
（3）下の〈図2〉のように，この放物線y＝ax²上に点D， y軸上に点Eを，△ABD＝△ABE＝△OAB×2となるようにとる。ただし，点Dのx座標は負，点Eのy座標は正とする。また，線分AEと線分BDの交点をFとする。このとき，次の①，②にそれぞれ答えよ。

①点Dのx座標を求めよ。また，△ABFの面積をaを用いて表せ。
②線分OEの中点を通り，六角形OABFEDの面積を二等分する直線の傾きが 1 2であるとき，aの値を求めよ。

解答・解説はこちら

作問者からのメッセージ

座標平面上にある三角形の面積の関係に着目し，線分の位置関係や図形の特徴などを分析する問題です。求積や等積変形の利用などの基本を歪な形で活用できるかがポイントですので，見た目で判断せず，しっかりとした根拠をもとに解き進めていきましょう。悩んだときは，小問の流れを考えると新たな性質の発見につながります。最後の小問にあるトリッキーな二等分の意味が分かればすっきりするので，ぜひ解いてみてください。