問題16（空間図形）※筑駒高入試プレ（中3）より

2023.05.25

オリジナル問題

半径が6cmの球が2つあり，中心をO1，O2 とする。球O1 は正八面体ABCDEFに△ABE，△ABC，△ACD，△ADEで接し，球O2 は△FBE，△FBC，△FCD，△FDEで接しており，球O1 と△ABEの接点をPとおく。
2つの球O1，O2 が交わってできる円の直径の長さが4√6cmのとき，次の問いに答えなさい。

O1から面BCDEまでの距離を求めなさい。
正八面体ABCDEFの1辺の長さを求めなさい。
点Pを通り，△ACDに平行な平面でこの立体を切断するとき，球O1，球O2の切断面の面積を求めなさい。

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作問者からのメッセージ

立体図形の問題では，「対称な平面を抜き出すこと」がポイントであることが往々にしてあります。筑駒高の入試は制限時間が45分と短く，高い処理能力が求められますから，まずはこの平面の抜き出しがスムーズにできるかどうかが第一関門です。
その上で，筑駒高受験生なら基本～標準レベルの（1）（2）は正答したいところです。（3）では新たな平面が登場しますが，まずは（1)で抜き出した平面上で考えてみましょう。
この問題は『筑駒高入試プレ』の大問4（最後の大問）です。実際の入試では時間との闘いも重要になってきますが，まずは時間制限なしで解いてみてください。