問題7（整数）※筑駒高入試プレ（中3）より

2023.05.25

オリジナル問題

一の位が0でない2けたの自然数nについて，「2乗して，求めた数の下2けたの値を答える」という操作を行います。
この操作を複数回行うときは，前の操作で求めた値に対して同じ操作を繰り返します。また，04のように操作後の十の位が0のときは，次の操作では一の位を2乗して値を求めるものとします。（この場合は4²=16）

例えば，n=54のとき，

1回操作を行うと，54²=2916 よって，16
2回操作を行うと，16²=256 よって，56
3回操作を行うと，56²=3136 よって，36

このとき，次の問いに答えなさい。

n=96のとき，4回操作を行ってつくられる値を求めなさい。
1回操作を行って，つくられる値の一の位が6になるnは何個あるか求めなさい。
1回操作を行って，96になるnの値をすべて求めなさい。
2018回操作を行って，96になるnの値をすべて求めなさい。ただし，何回か操作を行って96になるnで，初めて96になるまで6回以上操作を行うものは存在しないことがわかっている。

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作問者からのメッセージ

この問題は自然数の下2けたを2乗する操作において，同じ数が繰り返し登場する性質を題材にしています。問題文を一見しただけでは複雑な操作に見えますが，自ら手を動かして解き進めていくことでその普遍的な性質に気付けるようになっています。最難関高の入試問題においても，実際に手を動かしてみることが理解につながり，突破口が開けるものが数多くあります。受験生の皆さんは，どんな問題に対しても先入観を持たずに，粘り強くアプローチすることを心掛けてください。